正弦定理和余弦定理的所有公式

1 正弦定理、三角形面积公式

　正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB

　 1正弦定理的变形及应用

　变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

　(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c

　(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

　应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：

　a已知两角和任一边，求其他两边和一角

　b已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角

　一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解

　(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状其主要功能是实现三角形中边角关系转化例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替

　 2余弦定理

　在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;

　变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab

　在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形

3解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π

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以下是余弦定理变形常用的9种公式：

1、cos C = (a² + b² - c²) / 2ab

2、cos B = (a² + c² - b²) / 2ac

3、cos A = (b² + c² - a²) / 2bc

4、a² = b² + c² - 2bc cos A

5、b² = a² + c² - 2ac cos B

6、c² = a² + b² - 2ab cos C

7、cos A = (b² + c² - a²) / 2bc

8、cos² A + cos² B + cos² C + 2 cos A cos B cos C = 1

9、a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

这些变形公式在求解三角形问题时非常有用，可以根据具体情况选择适合的公式，以更高效地完成计算，得到准确的答案。

用余弦定理计算的注意事项：

1、掌握公式：余弦定理公式为c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中c为斜边，a、b为其他两边，C为c的对角度。

2、注意角度的度数：有些情况下需要使用弧度制，而不是角度制进行计算。一般来说，计算需根据问题情况选择适当的度数来操作。

3、注意精度误差：余弦定理公式中涉及到两个三角形中很小的夹角，计算时需要将其精度保留到足够的小数位数，以避免误差的影响。

4、优先解决已知条件：在求解时，应优先解决已知条件中的其他两个量，再通过余弦定理求出未知量。

5、特殊情况的考虑：如果给定的三角形不是普通三角形且存在特殊情况，如等边三角形、直角三角形等，需要针对特殊情况作出调整。

6、实际运用需谨慎：应该在实际运用中慎重使用余弦定理来求解角度或边长，因为计算复杂度比较高，容易引入误差，更适合在科研、工程、物理等领域进行数据计算。

正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为A B C，外接圆半径为r，则称关系式a/sinA=b/sinB=c/sinC为正弦定理。

余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为A B C，则称关系式

a^2=b^2+c^2-2bccosA

b^2=c^2+a^2-2accosB

c^2=a^2+b^2-2abcosC

扩展资料

证明： 

任意三角形ABC，作ABC的外接圆O。

作直径BD交⊙O于D，连接DA

因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度，

因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C。

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R。

类似可证其余两个等式。

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

—正弦定理

—余弦定理

余弦定理公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

余弦定理性质：

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质：

a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA

b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB

c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC

cosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·a·b）

cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·a·c）

cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·b·c）